Le discriminant expliqué simplement
Pour résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0, on commence par calculer un seul nombre : le discriminant, noté Δ (delta). Ce nombre « discrimine », c'est-à-dire qu'il permet de distinguer trois situations.
Définition et trois cas
| Valeur de Δ | Solutions réelles | Formule |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux solutions distinctes | x = (−b ± √Δ) / (2a) |
| Δ = 0 | une solution double | x = −b / (2a) |
| Δ < 0 | aucune solution réelle | — |
Trois exemples
Δ > 0. 2x² − 3x − 2 = 0 : Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. Alors x = (3 ± 5) / 4, soit x = 2 ou x = −1/2.
Δ = 0. 4x² − 12x + 9 = 0 : Δ = 144 − 144 = 0. La solution double est x = 12 / 8 = 3/2.
Δ < 0. x² + 2x + 5 = 0 : Δ = 4 − 20 = −16. Il n'y a pas de solution réelle.
D'où vient la formule ?
On peut écrire ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − Δ/(4a²)]. L'équation devient alors (x + b/2a)² = Δ/(4a²). Un carré ne peut pas être négatif : si Δ < 0, il n'existe aucun réel x qui convient. Si Δ = 0, le carré est nul et il n'y a qu'une valeur. Si Δ > 0, on a deux racines carrées possibles, d'où le ±.
Pièges à éviter
- Si b est négatif, écrivez b² avec des parenthèses : (−5)² = 25, alors que −5² = −25.
- Dans −4ac, si c est négatif, le produit devient positif : −4 × 2 × (−2) = +16.
- Vérifiez que l'équation est bien écrite sous la forme « … = 0 » avant de lire a, b et c.
Pour contrôler vos calculs, utilisez le calculateur du second degré : il affiche le discriminant et chaque étape.