Cours de mathématiques
Six notions essentielles, chacune avec l'essentiel du cours, un exemple et des exercices dont la solution se déplie. Cherchez d'abord, ouvrez ensuite.
1. Équations du premier degré
Une équation ax + b = 0 avec a ≠ 0 a une seule solution :
Exemple. 3x − 7 = 11 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6.
Cas particuliers. Si a = 0 et b ≠ 0, il n'y a aucune solution (0 = −b est faux). Si a = 0 et b = 0, tout réel convient.
Exercices
Résoudre 5x − 4 = 16.
5x = 20, donc x = 4.
Résoudre 3(x + 2) = 2x + 10.
3x + 6 = 2x + 10 ⇒ x = 4. Vérification : 3 × 6 = 18 et 2 × 4 + 10 = 18.
Résoudre (2x − 1)/3 = (x + 4)/2.
On multiplie par 6 : 2(2x − 1) = 3(x + 4) ⇒ 4x − 2 = 3x + 12 ⇒ x = 14. Vérification : (28 − 1)/3 = 9 et 18/2 = 9.
2. Identités remarquables et factorisation
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Exemples. x² − 9 = (x − 3)(x + 3). x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : x(x − 9) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 9.
Exercices
Factoriser 4x² − 25.
4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x − 5)(2x + 5).
Factoriser x² − 10x + 25.
2 × x × 5 = 10x, donc x² − 10x + 25 = (x − 5)².
Résoudre x² − 49 = 0.
(x − 7)(x + 7) = 0 ⇒ x = 7 ou x = −7.
3. Équations du second degré
Pour ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0, on calcule le discriminant Δ = b² − 4ac.
| Δ | Solutions réelles |
|---|---|
| Δ > 0 | x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) |
| Δ = 0 | x = −b/(2a) (racine double) |
| Δ < 0 | aucune |
Exemple. x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1, donc x = (5 ± 1)/2, soit x = 2 ou x = 3. Contrôle : la somme des racines vaut −b/a = 5 et leur produit c/a = 6.
Vérifiez vos résultats avec le calculateur du second degré.
Exercices
Résoudre x² − 7x + 12 = 0.
Δ = 49 − 48 = 1. x = (7 ± 1)/2, donc x = 3 ou x = 4.
Résoudre 2x² + 3x − 5 = 0.
Δ = 9 + 40 = 49. x = (−3 ± 7)/4, donc x = 1 ou x = −5/2.
Résoudre x² − 4x + 5 = 0.
Δ = 16 − 20 = −4 < 0 : aucune solution réelle.
4. Systèmes de deux équations
Deux méthodes : substitution (exprimer une inconnue en fonction de l'autre) et combinaison (additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue).
Exemple. x + y = 10 et x − y = 2. En additionnant : 2x = 12, donc x = 6, puis y = 4. Vérification : 6 + 4 = 10 et 6 − 4 = 2.
Exercices
Résoudre x + y = 15 et x − y = 3.
On additionne : 2x = 18, donc x = 9 et y = 6.
Résoudre 2x + 3y = 12 et x − y = 1.
x = y + 1. Alors 2(y + 1) + 3y = 12 ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 et x = 3. Vérification : 6 + 6 = 12.
5. Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, c² = a² + b² où c est l'hypoténuse. Réciproque : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.
Exemple. Cathètes 6 et 8 : c² = 36 + 64 = 100, donc c = 10.
Exercices
Cathètes 9 cm et 12 cm : calculer l'hypoténuse.
c² = 81 + 144 = 225, donc c = 15 cm.
Hypoténuse 13 cm, une cathète 5 cm : calculer l'autre.
b² = 169 − 25 = 144, donc b = 12 cm.
Un triangle de côtés 7, 24 et 25 est-il rectangle ?
7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Oui, il est rectangle.
6. Pourcentages
p % de N = N × p/100. Hausse de t % : multiplier par 1 + t/100. Baisse de t % : multiplier par 1 − t/100.
Exemple. Une réduction de 20 % sur 25 000 FC donne 25 000 × 0,8 = 20 000 FC.
Exercices
Calculer 15 % de 60 000.
60 000 × 0,15 = 9 000.
Un prix passe de 50 000 à 42 500 FC. Quel est le taux d'évolution ?
(42 500 − 50 000)/50 000 = −0,15, soit une baisse de 15 %.