Les trois identités remarquables : comprendre et mémoriser
Les identités remarquables sont trois égalités qu'il vaut la peine de connaître par cœur. Elles servent à développer vite, à factoriser et même à calculer de tête.
Les trois formules
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Pour la première, il suffit de développer : (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Les deux autres se démontrent de la même façon.
Calculer de tête
- 51² = (50 + 1)² = 2 500 + 100 + 1 = 2 601.
- 49² = (50 − 1)² = 2 500 − 100 + 1 = 2 401.
- 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 = 2 499.
Reconnaître pour factoriser
Dans l'autre sens, on repère la forme :
- x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3).
- x² + 6x + 9 = (x + 3)², car 2 × x × 3 = 6x.
- 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², car 2 × 2x × 3 = 12x.
Pour une expression à trois termes, vérifiez toujours que le terme du milieu est bien le double produit.
L'erreur classique
(a + b)² n'est pas égal à a² + b². Test rapide avec a = 3 et b = 4 : (3 + 4)² = 49, alors que 3² + 4² = 25. Il manque le double produit 2ab = 24.